Aceleración centrífuga y de Coriolis

En este página, se explican los efectos de la aceleración de Coriolis y la centrífuga, sobre el movimiento de un cuerpo que cae verticalmente en el hemisferio Norte desde una altura h.
Supondremos que el observador está en un sistema NO inercial, en rotación solidariamente con la Tierra. En el capítulo Dinámica Celeste se dará una explicación de los efectos de la aceleración de Coriolis desde el punto de vista de un observador inercial.

Aceleración de Coriolis

La fórmula de la aceleración de Coriolis es
a_co=-2w ´ v
donde w es la velocidad angular de rotación del planeta, y v es la velocidad del cuerpo medida por el observador no inercial. El ángulo l es la latitud del lugar considerado situado en el hemisferio Norte.


Como podemos apreciar en la figura de más abajo, el vector velocidad angular w forma un ángulo igual a la latitud l con la dirección Norte-Sur en el plano local
La aceleración de Coriolis en el hemisferio Norte está dirigida hacia el Este y su módulo es
a_y=2w v·sen(90+l )=2w v·cosl
A lo largo del eje Z la aceleración es la de la gravedad a_z=g
En el plano local tenemos la composición de dos movimientos

• Uniformemente acelerado a lo largo del eje Z

• Acelerado (aceleración variable) a lo largo del eje Y

Se ha supuesto que el cuerpo parte del reposo desde la posición z=h, y=0.
La aceleración de Coriolis de un cuerpo que cae es máxima en el ecuador l =0º y es nula en los polos l =90º. En el polo coinciden las direcciones de los vectores velocidad angular de rotación w, y la velocidad v del cuerpo que cae, el producto vectorial de ambos vectores es por tanto, cero.
Ejemplo:
Si estamos situados en el plano del ecuador l =0, y el cuerpo se deja caer desde una altura de 100 m, tenemos una desviación y=2.2 cm, que no se puede apreciar a simple vista.

Aceleración centrífuga

Si estamos en el hemisferio Norte, en un lugar de latitud l . Una partícula situada en este punto describe una circunferencia de radio r=R·cosl . La aceleración centrífuga es radial y dirigida hacia afuera, tal como se indica en la figura, su modulo es
a_c=w ²r= w ²R·cosl .
Los datos del plaenta Tierra son:

• Velocidad angular de rotación w, una vuelta (2·p) cada 24 horas (86400 s).
• El radio de la Tierra es de R=6370 km.

La aceleración centrífuga se descompone en dos,

• Componente en la dirección radial, que disminuye la aceleración g₀ de la gravedad

g=g₀ -w ²R·cos²l .

La aceleración centrífuga en el ecuador l =0º, es máxima w²R, pero es muy pequeña comparada con g₀

• Componente en la dirección Norte-Sur (eje X), que desvía los cuerpos hacia el Sur. El valor de esta componente es
  a_x=a_c·senl=w²R·cosl ·senl. Esta aceleración es nula cuando estamos en el plano ecuatorial l =0º.

Un móvil que cae, describe un movimiento uniformemente acelerado a lo largo del eje X.

Ejemplo:
La desviación hacia el sur de un cuerpo que cae desde una altura de 100 m en un punto de latitud l =45º es x=17.2 cm, muy pequeña para ser apreciada a simple vista.

Movimiento relativo de rotación uniforme

Cuando un cuerpo se mueve sobre la superficie de la Tierra está sometido a dos fuerzas la fuerza centrífuga y la fuerza de Coriolis,
La fuerza de Coriolis es la responsable de la rotación del plano del péndulo de Foucault, la circulación del aire alrededor de los centros de baja o alta presión, la desviación de la trayectoria de proyectiles de largo alcance, la rotación del agua cuando sale por el desagüe de la bañera, etc.
La fuerza centrífuga es responsable del cambio en el módulo y en la dirección de la aceleración de la gravedad a distintas latitudes.
Las fuerzas reales como la fuerza que ejerce un muelle, la fuerza de atracción gravitatoria, las fuerzas eléctricas o magnéticas son las que describen las interacciones entre los cuerpos. Las fuerzas de inercia solamente se observan en sistemas de referencia acelerados, para distinguirlas de las fuerzas reales se denominan también fuerzas ficticias o pseudofuerzas.
La introducción de este tipo de fuerzas junto con las reales facilita la resolución de los problemas de Mecánica en los sistemas de referencia en movimiento relativo de rotación uniforme como la Tierra.
Las fórmulas que relacionan la velocidad v’ y de la aceleración a’ medidas en el sistema no inercial con la velocidad v y aceleración a medidas en el sistema inercial son las siguientes


Su justificación la podemos encontrar en algunos libros de texto

Movimiento rectilíneo y uniforme

Vector posición

Una partícula P se mueve a lo largo del eje X con velocidad constante v, sabiendo que en el instante inicial t=0, se encuentra en la posición x₀, determinar la trayectoria en el sistema no inercial que gira con velocidad angular constante w en el sentido de las agujas del reloj.
Sistema inercial
La posición de la partícula P en función del tiempo es
x=x₀+vt
y=0.El vector posición es r=xi
La trayectoria de la partícula es rectilínea

Sistema no inercialx’=x·cos(w t) y’=x·sen(w t) El vector posición es r= x·cos(w t)i’+ x·sen(w t)j’

Si la partícula parte del origen en el instante t=0, x=v·t. La distancia r de la partícula al origen en el instante t es

El ángulo girado por el sistema no inercial al cabo de un cierto tiempo t es θ=ω·t

La ecuación de la trayectoria en coordenadas polares es Que es una espiral de Arquímedes, tal como puede verse en el applet más abajo. Esta es la espiral que describe la cinta de una casete de espesor d al enrollarse, o la trayectoria que sigue una aguja en un disco.

Vector velocidad

Sistema inercial
La velocidad v de la partícula P es constante
v=vi
Sistema no inercial
Derivando respecto del tiempo obtenemos la velocidad de la partícula medida en el sistema no inercial

Vamos a comparar este resultado con el que nos proporciona la fórmula

Con
v=vi
w =-w k
r=xi
se obtiene
v’=vi+w xj

Ahora, relacionamos los vectores unitarios i, j, del sistema de referencia OXY inercial con los vectores unitarios i’, j’ del sistema OX’Y’ no inercial

Obtenemos de nuevo, el vector velocidad v’

Vector aceleración

Sistema inercial
La velocidad v de la partícula P es constante en módulo y dirección
a=0
Sistema no inercial
Derivando las componentes de la velocidad con respecto del tiempo obtenemos la aceleración a’ medida en el sistema no inercial.

Veamos ahora mediante la fórmula

Los datos que tenemos son

a=0, el movimiento es uniforme en el sistema de referencia inercial
w =-w k
r= x·cos(w t)i’+ x·sen(w t)j’
v’=(v·cos(w t)- x·w ·sen(w t))i’+(v·sen(w t)+ x·w ·cos(w t))j’

Calculamos cada aceleración separadamente
Aceleración de Coriolis
-2w ´ v’=-2(-w k)(v_xi’+v_yj’)=-2w v_yi’+2w v_xj’
=-2w (v·sen(w t)+ x·w ·cos(w t))i’+2w (v·cos(w t)- x·w ·sen(w t))j’

En la figura, se muestra que la aceleración de Coriolis es siempre perpendicular a la velocidad v'. A la izquierda, se muestra el producto vectorial en el espacio, y a la derecha la misma representación en el plano.
Aceleración centrífuga
-w ´ (w ´ r)
con  r= x·cos(w t)i’+ x·sen(w t)j’
-w ´ (w ´ r)=-(-w k) ´ (w ·x·sen(w t)i’-w ·x·cos(w t)j’)
=w²·x·cos(w t)i’+w²·x·sen(w t)j’

En la figura, se muestra el resultado del triple producto vectorial. La aceleración centrífuga tiene dirección radial.
Sumando las dos contribuciones volvemos a obtener la aceleración a’ medida en el sistema no inercial
a’=(-2w ·v·sen(w t)- w²·x·cos(w t))i’+(2w ·v·cos(w t)- w²·x·sen(w t))j’

Movimiento relativo de traslación uniforme

Cuando se introduce en clase el movimiento relativo, se empieza el tema resolviendo problemas sencillos e intuitivos para cuyo planteamiento no se requiere una explicación detallada del concepto de velocidad relativa.

Ejemplo 1

Un río fluye hacia el este con velocidad de c=3 m/s. Un bote se dirige hacia el este (aguas abajo) con velocidad relativa al agua de v=4 m/s.

• Calcular la velocidad del bote respecto de tierra cuando el bote se dirige hacia el este (río abajo) y cuando se dirige hacia el oeste (río arriba).
• Calcular el tiempo que tarda el bote en desplazarse d=100 m hasta el punto P y regresar de nuevo al punto de partida O.

Cuando el bote navega aguas abajo la velocidad del bote respecto de tierra es c+v, es decir de 7 m/s.   Cuando el bote navega en sentido contrario a la corriente la velocidad del bote respecto de tierra es c-v, es decir de -1 m/s.

• El tiempo que tarda el barquero en hacer el viaje de ida es t₁=d/(v+c)
• El tiempo que tarda en hacer el viaje de vuelta es t₂=d/(v-c)

El tiempo total es

Con los datos del problema t=800/7=114.3 s.

Ejemplo 2

En esta sección el barco atraviesa el río. Pueden ocurrir dos casos:

• Que la velocidad del barco v respecto de la corriente sea mayor que la de la corriente c
• Que la velocidad del barco v respecto de la corriente sea menor que la de la corriente c

Primer caso: v>c

Un río fluye hacia el este con velocidad de c=3 m/s. El bote se mueve en agua quieta con una velocidad de v=4 m/s.

• ¿Cómo debe ser dirigido el bote para que llegue a un punto P situado en la orilla opuesta enfrente de O?

• Calcular la velocidad V del bote respecto de tierra.
• Calcular el tiempo que tarda el bote en desplazarse d=100 m hasta el punto P y regresar de nuevo al punto de partida O.

El vector velocidad V del barco respecto de tierra debe de apuntar hacia el norte.

El resultado de la suma V=v+c es 

Vj=(v·cosθ i+v·senθ j)+ci

o bien,

0=c+v·cosθ
V=v·senθ

• El ángulo θ se calcula a partir de la primera ecuación cosθ=-c/v.
• La velocidad del barco respecto de tierra V se calcula a partir de la segunda ecuación, o bien, como el cateto V del triángulo rectángulo formado por la hipotenusa v y el otro cateto c.

• El viaje de vuelta es similar al viaje de ida. El tiempo total de viaje será

Con los datos del problema,

• La velocidad del bote respecto de tierra es de .
• El ángulo que forma la proa del bote con la dirección este-oeste es θ=138.6º.
• El tiempo total de viaje será t=2·37.6=75.6 s

Segundo caso: v<c

Cuando la velocidad del barco v (respecto de la corriente) es menor que la velocidad de la corriente c, no es posible que el barco atraviese el río sin desviarse.

La velocidad del barco respecto de tierra es V=v+c  

V=(v·cosθ i+v·senθ j)+ci=(c+v·cosθ) i+v·senθ j

El tiempo t que tarda en cruzar el río de anchura d y la desviación x a lo largo de la orilla es

La desviación mínima x se produce para el ángulo

El tiempo t que tarda en el viaje de ida para el ángulo de mínima desviación θ_m es

El tiempo es mínimo, para el ángulo 2θ_m=270, θ_m=135º

El tiempo de viaje de ida es mínimo, para aquellos botes que se muevan con velocidad v=-c·cos135 haciendo un ángulo θ_m=135º con la dirección de la corriente. El tiempo de viaje y la desviación x es

Ejemplo

Un río fluye hacia el este con velocidad de c=4 m/s. El bote se mueve en agua quieta con una velocidad de v=3 m/s.

El ángulo que hace que la desviación x sea mínima es θ_m=138.6º, la desviación mínima es x_m=88.2 m, el tiempo de viaje es t=50.4 s

Si la velocidad del bote es v=-c·cos135, , el ángulo que produce la desviación mínima es θ_m=135º, la desviación mínima es x_m=100 m, el tiempo de viaje de ida es t_m=50.0 s

Ejemplo 3

Un río fluye hacia el este con velocidad de c=3 m/s. Un bote se dirige hacia el norte θ=90º con velocidad relativa al agua de v=4 m/s.

• Calcular la velocidad del bote respecto de tierra
• Si el río tiene una anchura de d=100 m, calcular el tiempo necesario para cruzarlo.
• ¿Cuál es la desviación hacia el este del bote cuando llega a la otra orilla del río?
• ¿Cómo debe dirigirse el barco para que una vez en el punto P en la orilla opuesta regrese al punto O de partida?
• Calcular el tiempo que tarda en volver al punto de partida

La velocidad del bote respecto de tierra V es la suma vectorial de la velocidad del bote respecto del agua v (cuando el agua está quieta) y la velocidad de la corriente de agua respecto de tierra c.

El resultado de la suma V=v+c es

Vsenα i+ Vcosα j=ci+vj

El módulo del vector resultante V es

y forma un ángulo α con la dirección norte-sur

• El tiempo que tarda en el viaje de ida es t₁=d/v,
• La desviación hacia el este es x=c·t₁=c·d/v. O bien, en el triángulo rectángulo de la figura tenemos que x=d·tanα=d·c/v.

Con los datos del problema

• La velocidad del barco respecto de tierra es V=5 m/s y su orientación respecto de la dirección norte-sur es α=36.9º.
• El tiempo que tarda en cruzar el río es t=25 s.
• El desplazamiento hacia el este del barco al llegar a la otra orilla es x=75 m.

La siguiente pregunta ya no es tan fácil. ¿Con qué ángulo debe orientarse la proa del barco para que una vez en el punto P en la orilla opuesta regrese el punto O de partida?.

Como puede verse en la figura tenemos que calcular el ángulo β de la dirección de la velocidad v del barco respecto de la corriente para que la velocidad del barco respecto de tierra V forme un ángulo α (calculado anteriormente) con la dirección norte-sur.

El resultado de la suma V=v+c es

-V·senα i+ -V·cosα j=-v·senβ i-v·cosβ j +c i

o bien,

V·senα=v·senβ-c
V·cosα= v·cosβ

con tanα=c/v

No resulta difícil demostrar que β=2α. Para ello, se han de emplear las relaciones trigonométricas conocidas

El tiempo que tarda el barco en regresar al punto de partida O es

Para demostrarlo, se ha empleado la relación trigonométrica 1+tan²α=1/cos²α

El tiempo total de viaje

Con los datos del problema tenemos

• El ángulo que forma la proa del barco con la dirección este-oeste es θ=90+β=90+2α=163.8º
• El tiempo de viaje de de vuelta t₂=89.3 s y el total t=25+89.3=114.3 s

Comparación de los tiempos de viaje

El tiempo del viaje de ida (t₁=25 s) en el tercer ejemplo es el mínimo para cruzar el río, es menor que en el segundo ejemplo (primer caso v>c) (t₁=37.6 s). Pero el viaje de vuelta en el tercer ejemplo (t₂=89.3 s) es de mayor duración que en el segundo ejemplo (t₂=37.6 s). Por lo que el tiempo de viaje de ida y vuelta en el segundo ejemplo (t=75.6 s) es menor que en el tercer ejemplo (t=114.3 s)  y es el mínimo que se emplea en cruzar el río.

El tiempo de viaje del primer ejemplo (t=114.3 s) es igual al tiempo de viaje en el tercer ejemplo.

Medida de la velocidad del sonido

En esta página, vamos a describir una experiencia simulada en la que se mide la velocidad del sonido en el aire. Se basa en la propiedad de un Movimiento Ondulatorio Armónico de que dos puntos del medio separados una longitud de onda vibran en fase.

Se dispone de un generador de ondas de frecuencia entre 2000 y 4000 Hz conectado a un altavoz. Un micrófono situado a una distancia del altavoz capta el sonido y lo convierte en una señal eléctrica que se lleva a una de las entradas del osciloscopio. La otra entrada del osciloscopio está conectada al generador.El micrófono se puede desplazar a lo largo de una regla graduada, en cuyo origen está situado el altavoz.

En esta experiencia simulada volvemos a repasar las características esenciales del movimiento ondulatorio armónico:

• La relación entre longitud de onda, velocidad de propagación y periodo (o frecuencia)
• Una partícula situada en la posición x del medio describe un Movimiento Armónico Simple que está desfasado en general,  respecto del MAS que describe la fuente de ondas situada en x=0. Cuando están separadas por una longitud de onda l describen dos MAS que están en fase.

Para determinar la velocidad del sonido, moveremos el micrófono hasta que su distancia al altavoz sea igual a una longitud de onda, d=l.

Fundamentos físicos

La ecuación de un movimiento ondulatorio armónico que se propaga a lo largo del eje X, hacia la derecha con velocidad v_s es

• Y es el desplazamiento de un punto x del medio en el instante t
• Y₀ es la amplitud
• k es el número de onda k=2p /l , donde l es la longitud de onda
• v_s es la velocidad de propagación del sonido

Un punto x del medio describe un MAS cuya amplitud es Y₀ y cuyo periodo es P=l /v_s Conocida la frecuencia y la longitud de onda podemos calcular la velocidad de propagación
v_s =f·l
El osciloscopio tiene dos entradas X e Y. En su pantalla observamos la composición de dos MAS de direcciones perpendiculares.

• El primer MAS corresponde a la vibración de la fuente x=0, el altavoz

• El segundo MAS corresponde a la vibración de un punto x=d del medio, la posición que ocupa el micrófono

Podemos escribir ambas ecuaciones en la misma forma que en la composición de dos MAS de direcciones perpendiculares

La amplitud Y₀ es ahora A, y el desfase j =kd
Cuando d no es igual a la longitud de onda l, o el desfase j  no es 2p, la composición de los dos MAS da lugar a una elipse.

Cuando d es igual a la longitud de onda l o un múltiplo entero de la longitud de onda, el desfase j   es 2p o un múltiplo entero de 2p . La composición de los dos MAS es una recta cuya pendiente es 45º, si las amplitudes de los dos MAS son iguales.

Moveremos poco a poco el micrófono a lo largo de la regla desde el origen, y nos pararemos cuando observemos en la pantalla del "osciloscopio" que la composición de los dos MAS da lugar a una trayectoria en forma de segmento de una recta inclinada 45º.

En la experiencia real como se describe en el artículo mencionado en las referencias el desplazamiento del micrófono abarca varias longitudes de onda, y se obtiene la longitud de onda media. Una gráfica de la posición del micrófono en función del número de longitudes de onda debe dar una línea recta.

Descripción de la propagación

Podemos observar ejemplos de movimiento ondulatorio en la vida diaria: el sonido producido en la laringe de los animales y de los hombres que permite la comunicación entre los individuos de la misma especie, las ondas producidas cuando se lanza una piedra a un estanque, las ondas electromagnéticas producidas por emisoras de radio y televisión, etc.
Comencemos por un fenómeno familiar, la propagación de las ondas en la superficie de un estanque. La superficie de un líquido en equilibrio es plana y horizontal. Supongamos que arrojamos un objeto a un estanque. Cuando el objeto entra en contacto con la superficie del agua se produce una perturbación de su estado físico. Una perturbación de la superficie produce un desplazamiento de todas las moléculas situadas inmediatamente debajo de la superficie. Teniendo en cuenta las fuerzas que actúan sobre los elementos de fluido: peso del fluido situado por encima del nivel de equilibrio y la tensión superficial, se llega a una ecuación diferencial, a partir de la cual se puede calcular la velocidad de propagación de las ondas en la superficie de un fluido. El análisis de esta situación es complicado, pero veremos con detalle una más simple la propagación de las ondas transversales en una cuerda.
Antes de que Hertz realizara sus experimentos para producir por primera vez ondas electromagnéticas, su existencia había sido predicha por Maxwell como resultado de un análisis cuidadoso de las ecuaciones del campo electromagnético. El gran volumen de información que se ha acumulado sobre las ondas electromagnéticas (cómo se producen, propagan, y absorben) ha posibilitado el mundo de las comunicaciones que conocemos hoy en día.
Aunque el mecanismo físico puede ser diferente para los distintos movimientos ondulatorios, todos ellos tienen una característica común, son situaciones producidas en un punto del espacio, que se propagan a través del mismo y se reciben en otro punto.

Descripción de la propagación

Consideremos una función Y =f(x), si reemplazamos x por x-a, obtenemos la función Y =f(x-a). La forma de la curva no cambia, los mismos valores se obtienen de Y para valores de xaumentados en a. Si a es una cantidad positiva, la curva se traslada sin cambiar de forma hacia la derecha desde el origen a la posición a. Del mismo modo Y =f(x+a) corresponde a un desplazamiento de la función hacia la izquierda, en la cantidad a.
Si a=vt, donde t es el tiempo, la función "se desplaza" con velocidad v. Y =f(x-vt) describe la propagación de una perturbación representada por la función f(x), sin distorsión, a la largo del eje X, hacia la derecha, con velocidad v.

Ecuación diferencial del movimiento ondulatorio

Cada vez que conozcamos que una propiedad física Y, por ejemplo el desplazamiento de un punto de una cuerda, satisface la ecuación diferencial

podemos estar seguros que estamos describiendo un movimiento ondulatorio que se propaga a lo largo del eje X, sin distorsión y con velocidad v.
Podemos comprobar que una solución de esta ecuación diferencial es Y =f(x-vt).

Clases de movimiento ondulatorios

• El movimiento ondulatorio transversal es aquél en el que la dirección de propagación es perpendicular a la dirección de vibración, tal como sucede en una cuerda, o las ondas electromagnéticas.

• En el movimiento ondulatorio longitudinal coinciden la dirección de vibración y de propagación, un ejemplo es el del sonido.