Modelos simples de atmósfera

omo una aplicación de la ley de distribución de Boltzmann, vamos a calcular la variación de la presión del aire en función de la elevación y por encima del nivel del mar. Para simplificar el problema, suponemos que la temperatura se mantiene constante con la altitud. Despreciaremos la pequeña variación de la intensidad del campo gravitatorio g con la altura, siempre que consideremos la porción de atmósfera más cercana a la superficie de la Tierra. Supondremos finalmente, que el aire es un gas ideal que está formado por un solo componente, el más abundante, el nitrógeno.
Vamos a comprobar que la distribución de las moléculas con la altura sigue una ley exponencialmente decreciente, justamente la ley de Boltzmann.
Un comportamiento similar se produce cuando pequeñas partículas están suspendidas en el seno de un fluido. Perrin las observó en 1909 con un microscopio y comprobó que la distribución de la densidad de dichas partículas seguía una ley exponencial, a partir de la cual obtuvo un valor preciso de la constante k de Boltzmann.

Atmósfera isoterma

Examinemos las fuerzas sobre un pequeño volumen sección A y de espesor Dy comprendido entre las alturas y e y+Dy. La fuerza de la gravedad sobre esta porción de la atmósfera esFy=-mg(n·A·Dy) Donde m es la masa de una molécula y n es el número de moléculas por unidad de volumen, que es una función de la altura y, que vamos a determinar. La fuerza Fy es compensada por la diferencia de presión en las altitudes y e y+Dy, tal como se ve en la figura.

(p(y+Dy) - p(y))A=-mg(n·A·Dy)
o bien,

En el límite cuando Dy tiende a cero, obtenemos la derivada de la presión

Si consideramos la atmósfera como un gas ideal, se cumple que pV=NkT, o bien p=nkT.

• El número de moléculas  es igual al número de Avogadro por el número de moles, N=N_A·n
• El número de Avogadro por la constante k de Boltzmann nos da la constante R=kN_A de los gases, N_A=6.0225·10²³ moléculas/mol, k=1.3805·10^-23 J/K, R=8.3143 J/(K·mol)

Integrando esta ecuación, obtenemos

donde n₀ es el número de moléculas por unidad de volumen a nivel del mar.
El número de moléculas por unidad de volumen decrece exponencialmente con la altura. Es importante destacar que el numerador en la función exponencial mgy representa la energía potencial de las moléculas individuales con respecto al nivel del mar. Por tanto, la distribución de moléculas con la altura sigue la ley de Boltzmann.
Como la ecuación de los gases ideales es p=nkT. La presión también disminuye exponencialmente con la altura

donde p₀ es la presión al nivel del mar, una atmósfera.
Para el nitrógeno N₂ a la temperatura de 300 K