Función de distribución de Boltzmann (II). Simulación

Simulación

La interacción constituye el mecanismo de intercambio de energía entre las moléculas de un gas ideal encerrado en un recipiente aislado.
Supongamos que las interacciones se restringen a pares de moléculas. Así, dos moléculas i y j con energías E_i y E_j después de la interacción adquieren energías E'_i y E'_j respectivamente. Los pasos necesarios para producir la simulación son:

• Asignar valores iniciales de la energía a cada molécula del sistema de N partículas.
• Seleccionar el par de partículas i y j que van a interaccionar
• Obtener la energía final de cada partícula E'_i y E'_j a partir de sus valores antes de la interacción.
• Obtener la distribución de partículas y calcular los valores de las variables macroscópicas: temperatura, energía total, entropía.

Distribución inicial
En primer lugar, se determina el tamaño del sistema. Un sistema real está formado por un número muy elevado de partículas, del orden de 6.02·10²³, cuantas más partículas tenga el sistema simulado más se acercarán los resultados a los predichos por la teoría. En la práctica, el número de partículas está limitado por la capacidad del ordenador en lo que respecta a la velocidad de cálculo, memoria y disposición en la pantalla del monitor.
Se puede asignar la misma energía inicial a todas las partículas o bien, una distribución al azar entre límites especificados.

Selección del par de partículas
Se sortean dos números enteros i y j al azar entre 0 y N-1 en el caso de que i y j coincidan (i=j), se vuelve a efectuar el sorteo, en caso contrario i y j constituyen las partículas interaccionantes.

Modelo de choques
Supongamos que la interacción entre ambas partículas tiene lugar mediante choques elásticos. Las ecuaciones de la conservación del momento lineal, y de la conservación de la energía cinética

junto con la ley de interacción nos permite calcular las velocidades finales de las partículas y sus direcciones. Sin embargo, el cálculo puede simplificarse bajo la hipótesis de que las partículas pueden moverse en todas las direcciones con igual probabilidad.
La ecuación de conservación de la energía nos indica que la energía cinética total se distribuye de otra manera entre las moléculas después de la interacción, así, si una de las moléculas gana energía la otra la ha de perder la misma cantidad.
Se han elaborado distintos modelos para calcular esta cantidad, mostrándose que los resultados finales no dependen cualitativamente del modelo adoptado. El modelo más simple consiste en repartición al azar de la energía cinética total entre ambas partículas. El modelo se justifica cualitativamente en base a un triple desconocimiento de la ley de interacción entre moléculas, del parámetro de impacto y del ángulo inicial entre las moléculas.

Distribución
Para obtener la distribución basta contar el número de partículas en el intervalo entre E y E+dE. En teoría, la anchura del intervalo dE es infinitesimal, ya que se trata de un sistema con un número muy elevado de partículas. En el sistema simulado, con un número relativamente pequeño de partículas, el intervalo ha de ser finito ya que de otra manera muchos intervalos no tendrían partículas.
El tamaño adecuado del intervalo se elige empíricamente dependiendo del número total de partículas, en nuestro caso dE=1, de modo que, se cuenta el número de partículas n₁ que tienen energías comprendidas entre 0 y 1,el número n₂ de partículas cuyas energías entre 1 y 2, etc.
Como comprobaremos en la simulación, la distribución se ajusta a una curva exponencial decreciente de la energía, tanto más aguda cuanto menor es la temperatura    n=c·exp(-E/kT)
La energía total U, es la suma de las energías de todas las partículas y la temperatura T (energía media) se da en unidades de energía hallándose el cociente U/N, energía total dividida entre número de partículas del sistema.
Para hallar la entropía, basta calcular el logaritmo neperiano del número de micoestados P de un macroestado dado.


Equilibrio térmico
Consideremos un sistema compuesto por dos subsistemas cada uno de ellos con N₁ y N₂ partículas respectivamente, puestos en contacto térmico a través de su pared común. Por medio de los choques e interacciones hay un intercambio de energía entre las partículas que componen los dos subsistemas, pero la energía total U=U₁+U₂ permanece constante. La temperatura de equilibrio T_eqdepende de la temperatura inicial y del número relativo de partículas en cada sistema. Se obtiene mediante la media ponderada

El equilibrio del sistema se alcanzará cuando

• La temperatura de cada subsistema es la misma.
• La energía de cada subsistema permanece constante en el estado de equilibrio, si bien, las partículas pueden seguir intercambiando energía a nivel microscópico, el intercambio tiene lugar en ambas direcciones, no habiendo en promedio intercambio neto en ninguna de las dos